Matematica

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Tags : matematica, scienza

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Matematica

Papiro egiziano che tratta di matematica

La parola matematica deriva dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significa "incline ad apprendere". Con questo termine di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi).

La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di regina delle scienze: ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.

La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata; ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che in talune lingue e in talune situazioni al termine singolare si preferisce il plurale matematiche.

Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto all'importanza dei singoli personaggi capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi: questi però si sono riscontrati solo in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Nella storia della matematica degli ultimi 500 anni, in relazione al miglioramento dei mezzi di comunicazione è comunque prevalsa la crescita progressiva del patrimonio di risultati e di metodi.

Questo è dovuto alla natura stessa delle attività matematiche. Esse sono costantemente tese alla esposizione precisa dei problemi e delle soluzioni e questo impone di comunicare avendo come fine ultimo la possibilità di chiarire tutti i dettagli delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio per molti aspetti esemplare come strumento per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze.

Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.

Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a due differenti generi di motivazioni e di approcci: le motivazioni applicative, con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di sistemazione concettuale con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.

Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.

Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.

Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.

Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi oggetto della indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario guidato per un progressivo accostamento delle problematiche, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.

I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: si tratta di calcoli eseguibili con le quattro operazioni che possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.

I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.

Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.

Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri i cui valori si lasciano indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza a e b, la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo x tale che .

Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni si rende necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.

Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente i seguenti oggetti primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono quindi altri oggetti quali segmenti, angoli, angoli solidi, poligoni e poliedri.

Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0, 1, 2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita!). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2. Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti!

Lo studio dell'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti vengono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.

Come riportato sopra, le discipline principali sviluppate all'interno della matematica sono nate dalla necessità di eseguire calcoli nel commercio, di capire i rapporti fra i numeri, di misurare la terra e di predire eventi astronomici. Questi quattro bisogni possono essere collegati approssimativamente con la suddivisione della matematica nello studio sulla quantità, sulla struttura, sullo spazio e sul cambiamento (cioè, aritmetica, algebra, geometria e analisi matematica). Oltre a queste, vi sono altre suddivisioni come la logica, la teoria degli insiemi, la matematica empirica di varie scienze (matematica applicata) e più recentemente allo studio rigoroso dell'incertezza.

Lo studio sulle quantità inizia con i numeri, in primo luogo con i numeri interi naturali ("numeri interi") e tramite operazione aritmetiche su di essi. Le proprietà più profonde dei numeri interi sono studiate nella teoria dei numeri e nell'ultimo teorema di Fermat. La teoria dei numeri inoltre presenta due problemi non risolti, largamente considerati e discussi: la Congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach.

I numeri interi sono riconosciuti come sottoinsieme dei numeri razionali ("frazioni"). Questi, a loro volta, sono contenuti all'interno dei numeri reali, che sono usati per rappresentare le quantità continue. I numeri reali sono generalizzati ulteriormente dai numeri complessi. Queste sono i primi punti di una gerarchia dei numeri che continua ad includere i quaternioni e gli ottonioni. L'analisi dei numeri naturali conduce inoltre ai numeri infiniti.

Fra gli strumenti informatici negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive.

Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati sistemi di algebra computazionale o addirittura con il termine inglese Computer algebra systems, abbreviato con CAS.

Molti oggetti matematici, come serie di numeri e funzioni, mostrano la loro struttura interna. Le proprietà strutturali di questi oggetti sono investigate nello studio di gruppi, anelli, campi e altri sistemi astratti, i quali sono a loro volta oggetti. Questo è il campo dell'algebra astratta. In questo campo un concetto importante è rappresentato dai vettori, generalizzati nello spazio vettoriale, e studiati nell'algebra lineare. Lo studio di vettori combina tre tra le fondamentali aree della matematica: quantità, struttura, e spazio. Il calcolo vettoriale espande il campo in una quarta area fondamentale, quella delle variazioni.

Lo studio dello spazio inizia con la geometria, in particolare con la geometria euclidea. La Trigonometria poi combina simultaneamente spazio e numeri. Lo studio moderno dello spazio generalizza queste premesse includendo la Geometria non euclidea (che assume un ruolo centrale nella teoria della relatività generale) e la topologia. Quantità e spazio sono trattati contemporaneamente in geometria analitica, geometria differenziale, e geometria algebrica. Con la geometria algebrica si ha la descrizione di oggetti geometrici come insiemi di soluzioni di equazioni polinomiali combinando i concetti di quantità e spazio, e anche lo studio di gruppi topologici, i quali combinano a loro volte spazio e strutture. I gruppi di Lie sono usati per studiare lo spazio, le strutture e le variazioni. La Topologia in tutte le sue molte ramificazioni può essere considerata la zona di sviluppo più grande nella matematica del XX secolo ed include la congettura di Poincaré e il controverso teorema dei quattro colori, di cui l'unica prova, eseguita a computer, non è mai stata verificata da un essere umano.

Matematica discreta è il nome comune per i campi della matematica utilizzati nella maggior parte dei casi nell'informatica teorica. Questa include teoria della computazione, teoria della complessità computazionale, e informatica teorica. La teoria della computazione esamina le limitazioni dei vari modelli di computer , compresi i modelli più potenti conosciuti - la Macchina di Turing. La teoria della complessità è lo studio delle possibilità di trattazione da parte di un calcolatore; alcuni problemi, nonostante siano teoricamente risolvibili attraverso un calcolatore, sono troppo costosi in termini di tempo o spazio tanto che risolverli risulta praticamente impossibile, anche prevedendo una rapida crescita delle potenze di calcolo. Infine la teoria dell'informazione si interessa della quantità di dati che possono essere immagazzinati su un dato evento o mezzo e quindi di concetti come compressione dei dati e entropia.

Come campo relativamente nuovo, la matematica discreta possiede un numero elevato di problemi aperti. Il più famoso di questi è il problema " P=NP?" uno dei Problemi per il millennio.

La matematica applicata considera l'utilizzo della matematica teorica come strumento utilizzato per la risoluzione di problemi concreti nelle scienze, negli affari e in molte altre aree. Un campo importante della matematica è la statistica, la quale utilizza la teoria della probabilità e permette la descrizione, l'analisi, e la previsione di fenomeni aleatori. La maggior parte degli esperimenti, delle indagini e degli studi d'osservazione richiedono l'utilizzo della statistica (molti statistici, tuttavia, non si considerano come veri e propri matematici, ma come parte di un gruppo collegato ad essi). L'analisi numerica investiga metodi computazionali per risolvere efficientemente una vasta gamma di problemi matematici che sono, in genere, troppo grandi per le capacità di calcolo umane; essa include lo studio di vari tipi di errore che generalmente si verificano nel calcolo.

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Successione (matematica)

In matematica, una successione può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-esimo termine per ogni intero n.

A differenza di quanto avviene per gli insiemi, per una successione è rilevante l'ordine in cui gli oggetti si trovano, e uno stesso oggetto può comparire più volte. Tali caratteristiche sono le stesse che distinguono una n-upla ordinata da un insieme costituito da n elementi, per cui una successione può anche essere considerata l'estensione infinita di una n-upla ordinata.

Le successioni sono ampiamente usate nel calcolo differenziale, che fa largo uso del concetto di limite di una successione. Sono un ingrediente fondamentale della definizione stessa dei numeri reali e di tutta l'analisi matematica.

Comunque sia, per definire in modo esauriente una successione occorre poter determinare an per ogni n, sicché in definitiva bisogna disporre - in qualche modo - di tutte le informazioni necessarie a definire in modo univoco una funzione f tale che an = f(n). E poiché ad ogni successione di termini resta associata una e una sola funzione siffatta, si può anche identificare la successione con la funzione stessa. Questo è effettivamente ciò che si fa nella definizione formale, per cui il termine 'successione' può riferirsi sia alla successione dei termini sia alla funzione che genera la successione dei termini.

A seconda di come sia definito il codominio A, le successioni possono essere costituite da semplici numeri reali o complessi, le successioni numeriche; ma anche da funzioni e in questo caso si parla di successione di funzioni, oppure ancora da altri oggetti matematici, come matrici (le matrici identità di dimensione ), figure geometriche (poligoni regolari, piramidi regolari) o di strutture (gruppi ciclici di ordini successivi, spazi vettoriali Rn), ecc...

L'esempio più semplice di successione convergente è una successione costante, cioè una successione in cui an=k per ogni n; un altro esempio è la successione 1/n, che tende a 0.

Una semplice successione divergente è an=n, o più in generale qualsiasi successione i cui termini siano i valori di un polinomio P(x), ovvero in cui an=P(n).

Una successione indeterminata "classica" è la successione an=(-1)n: essa "salta" continuamente da -1 a +1 e viceversa, senza stabilizzarsi verso nessun valore. Altri esempi più sofisticati sono la successione an=sen n, come molte successioni derivanti da funzioni aritmetiche, come an = σ(n), dove si è usata la funzione sigma.

Esistono anche definizioni alternative di limiti per le successioni indeterminate (es. convergenza in media).

In matematica il concetto di successione è uno di quei concetti fondamentali che, come anche quello di insieme e di funzione, sembrano facilmente acquisibili a livello intuitivo, e allo stesso tempo dimostrano di essere difficilmente riconducibili ad altri concetti, sicché quando non li voglia cosiderare noti e acquisiti intuitivamente ci si trova a dover affrontare complicati e profondi problemi teorici.

Non è difficile illustrare intuitivamente il concetto di successione. Per farlo è necessario prendere le mosse proprio dal linguaggio comune, nel quale il termine successione o quello equivalente di sequenza vengono utilizzati per riferirsi ad un elenco ordinato di un certo insieme di oggetti, cioè un elenco nel quale sia possibile distinguere un "primo" oggetto, da un "secondo", da un "terzo", eccetera.

Dal momento che si sta facendo riferimento al linguaggio comune, questa successione (o sequenza), intesa come elenco ordinato di oggetti, in generale sarà concepita come costituita da un numero finito di oggetti, sicché a livello intuitivo si partirà dalla acquisizione del concetto di successione finita. Solo in un secondo momento - preso atto che una successione può essere prolungata a piacere aggiungendo altri oggetti a quelli già disposti in ordine - si perverrà al concetto di successione infinita, che è quella presa in considerazione dalla teoria matematica.

In matematica la sequenza ordinata di n oggetti viene anche definita n-pla ordinata (coppia ordinata, tripla ordinata, eccetera), per cui quella che si è chiamata successione finita può anche essere chiamata n-pla ordinata. Quanto alla successione infinita, si dovrebbe parlare di "infinit-upla ordinata", ma questo appare piuttosto un abuso del linguaggio, sicché il termine "n-pla ordinata" viene riservato al caso finito, mentre di "successione" si parla solitamente nel caso infinito. Ma a prescindere dalla notazione, dovrebbe essere chiaro che il problema che si pone nel definire una successione non è altro che il "passaggio al limite" (per n che tende all'infinito) del problema che si pone nel definire una n-pla ordinata.

Se si sceglie la prima possibilità in linea di principio non ci sarebbe nulla da dire o da spiegare sul concetto di "successione", e la costruzione di una teoria matematica lo dovrebbe nominare considerandolo già noto, in quanto acquisito o acquisibile al di fuori del dominio della matematica. Se invece si sceglie la seconda possibilità, allora bisogna appunto compiere l'impresa di ricondurre un concetto fondamentale a qualche altro concetto fondamentale.

Nel caso delle successioni si potrebbe prendere le mosse dal caso finito, definendo una n-pla ordinata a partire da qualche concetto fondamentale, come ad esempio quello di insieme, per poi "passare al limite" facendo diventare arbitrariamente grande il numero di oggetti disposti nella sequenza. Tuttavia anche quando si sapesse come ricondurre la definizione di una n-pla ordinata a quella di insieme poi sarebbe tutt'altro che scontata la possibilità di compiere quel "passaggio al limite".

Il fatto che risulti sufficiente ricondurre ogni successione in A ad una funzione da ad A, sembra una soluzione tutto sommato semplice e banale del problema di fornire una definizione rigorosa di successione, che era stato presentato come un problema profondo e difficile. Tuttavia questa soluzione apparentemente così semplice cela a sua volta non poche difficoltà concettuali.

A parte questo, il fatto di aver ricondotto il concetto fondamentale di successione a quello di funzione pone il problema se questo concetto a sua volta lo si voglia considerare un concetto primitivo o un concetto fondamentale da ricondurre a qualche altro concetto primitivo.

Solitamente in matematica il concetto di funzione viene ricondotto a quello di insieme affermando che una funzione da A a B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano . Ma il prodotto cartesiano è, per definizione, l'insieme delle coppie ordinate costituite da un elemento di A e un elemento di B, sicché per ricondurre il concetto di funzione a quello di insieme dobbiamo comunque ricondurre la definizione di coppia ordinata a quella di insieme.

Se si vuole portare fino in fondo il progetto di ricondurre tutti i concetti fondamentali al concetto primitivo di insieme, resta la necessità di definire una coppia ordinata a partire dal concetto di insieme.

In alcuni casi viene chiamata successione anche una funzione da un insieme numerabile I. La numerabilità garantisce l'esistenza di una corrispondenza biunivoca con , e quindi la funzione composta φ(ψ) è una successione nel senso della definizione precedente.

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Vettore (matematica)

Il vettore OA è il vettore che parte in (0,0) e arriva in (2,3)

In matematica un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale. I vettori sono quindi oggetti che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, detti scalari.

L'esempio classico di vettore è costituito da una ennupla di numeri. Se lo spazio vettoriale ha dimensione finita, ogni vettore può essere infatti descritto in questo modo, dopo aver fissato una base dello spazio.

Il piano cartesiano è un esempio fondamentale di spazio vettoriale: un vettore è un punto del piano, determinato da una coppia di numeri reali (x, y). Disegnando una freccia che parte nell'origine (0, 0) e arriva in (x, y), si ottiene il significato fisico di vettore applicato nell'origine. La nozione matematica di vettore corrisponde totalmente alla nozione fisica di vettore applicato nell'origine; questi oggetti infatti si sommano e vengono moltiplicati per scalari allo stesso modo in entrambi i contesti: la regola del parallelogramma usata in fisica corrisponde ad esempio alla somma termine a termine descritta più sotto.

è quindi un vettore in questo contesto. In particolare, è il piano cartesiano e lo spazio tridimensionale (dotato di un sistema di coordinate cartesiano).

Si può inoltre sostituire il campo dei numeri reali con un altro campo qualsiasi K, ad esempio il campo dei numeri complessi. Una ennupla di numeri complessi è quindi un vettore dello spazio .

Gli esempi appena descritti sono fondamentali: ogni spazio vettoriale V di dimensione finita è in effetti identificabile con Kn, dopo aver fissato una opportuna base che permette di descrivere ogni vettore tramite le sue coordinate.

Anche in molti spazi vettoriali di dimensione infinita un vettore può essere descritto come una stringa (infinita) di numeri: questo argomento necessita però di strumenti più sofisticati, quali ad esempio la struttura di spazio di Hilbert.

Una matrice costituita da una sola riga, ovvero di dimensione 1 × n, viene detta vettore riga; una matrice costituita da una sola colonna, ovvero di dimensione n × 1, viene detta vettore colonna. L'operatore di trasposizione, denotato generalmente con una T ad esponente (vT) trasforma vettori riga in vettori colonna e viceversa. Spesso i vettori di vengono descritti come vettori colonna, per poter descrivere le trasformazioni lineari come prodotto con una matrice. Questa convenzione è usata ad esempio nelle applicazioni numeriche e nei linguaggi di programmazione orientati alla matematica (come MATLAB ad esempio).

In matematica è frequente anche l'uso della sottolineatura in luogo del grassetto. In fisica, invece, spesso si denotano con frecce sovrascritte. Talvolta si utilizza la stessa notazione adottata per uno scalare, ma ciò può rendere meno leggibile l'equazione. Se il vettore è anche versore di una base, di solito si indica con un accento circonflesso ("cappello").

I vettori possono essere sommati e moltiplicati per uno scalare usando le operazioni che definiscono lo spazio vettoriale a cui appartengono.

Utilizzando strutture diverse dallo spazio vettoriale, è possibile inoltre definire il prodotto tensoriale e il prodotto vettoriale (o prodotto esterno) tra due vettori non necessariamente appartenenti allo stesso spazio vettoriale.

Se lo spazio vettoriale è anche normato è possibile definire la norma di un vettore, se lo spazio vettoriale possiede un prodotto scalare, è possibile definire il prodotto scalare tra due vettori.

I vettori in spazi unidimensionali sono scalari e quindi su di essi è possibile applicare le operazioni del campo K (come la divisione o la radice, quando hanno senso).

Nello spazio euclideo è inoltre definito il prodotto di Hadamard.

La somma è associativa, commutativa e possiede l'elemento neutro che è il vettore nullo; inoltre ogni elemento ha un opposto. In altre parole, i vettori con la somma formano un gruppo abeliano.

Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n, dopo aver fissato una base ogni vettore è descrivibile tramite le sue coordinate, e la somma fra due vettori si comporta allo stesso modo.

Il prodotto è associativo, gode di proprietà distributive e inoltre vale 1v=v.

Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n, dopo aver fissato una base ogni vettore è descrivibile tramite le sue coordinate, ed il prodotto per scalare si comporta allo stesso modo.

Se V e W sono spazi vettoriali di dimensione n e m, fissate due basi, il prodotto tensoriale è descrivibile come uno spazio di matrici ed il prodotto tensoriale in coordinate si scrive come sopra.

Questa quantità è pari alla lunghezza del vettore.

Più in generale, è possibile definire vari tipi di prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale o complesso (nel caso complesso si preferisce solitamente definire un prodotto hermitiano). Un prodotto scalare simile a quello euclideo è definito positivo: uno spazio dotato di prodotto scalare definito positivo è uno spazio prehilbertiano o euclideo. Prodotti scalari non definiti positivi sono più particolari, ma comunque ampiamente usati: questi sono utili ad esempio in relatività ristretta per definire lo spaziotempo di Minkowski.

Come detto sopra, i vettori di Kn possono essere considerati delle matrici a una riga o una colonna. Per questo motivo è lecito parlare di moltiplicazioni tra matrici e vettori; in ossequio alle regole della moltiplicazione di matrici, un vettore colonna v (di dimensione n × 1) sarà moltiplicabile a sinistra per una matrice A a condizione che il numero di colonne di A sia n. Il risultato sarà un vettore con le stesse dimensioni di v.

Generalmente si intende e si usa questo tipo di moltiplicazione, anche se in linea di principio è anche possibile moltiplicare a destra un vettore 1 × n per una matrice con n righe.

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Source : Wikipedia