Edward Witten

3.3901098901228 (1274)
Inviato da maria 20/04/2009 @ 02:10

Tags : edward witten, scienziati, scienza

ultime notizie
Per Nolte l'islamismo è solo l'ultima evoluzione di bolscevismo e ... - L'Occidentale
A ben guardare, erano alcuni anni che lo storico di Witten non produceva novità significative e dunque i suoi lavori più recenti erano passati pressoché sotto silenzio. Ma non poteva essere questo, appunto, il destino, del suo ultimo (Die dritte...
HIGH SCHOOL SOFTBALL: Edward Little knocks off Messalonskee - Morning Sentinel
BY TRAVIS BARRETT OUT: Messalonskee's Brittany Corey is tagged out at home plate by Edward Little catcher Becca Witten on Monday at Oakland. OAKLAND -- Truth be told, nobody knew what Kayla Cummings was capable of at the plate. The Edward Little first...
What are the strings in String Theory made of? - ScienceBlogs
So, I re-read Physicist Edward Witten's beautiful article on String Theory yesterday night and kept thinking about what Wittgenstein said: Knowledge is in the end based on acknowledgment. In many ways, it surely is (and personally for me,...
Alan Peppard: Sweet Baby James & family parties at Trader Vic's - Dallas Morning News
That's partly thanks to Cowboys players Jason Witten, DeMarcus Ware and Greg Ellis, who joined Michael on the stage and offered to personally match all funds raised. In 4th and Long, the former Cowboys receiver runs a 10-week training camp for 12...
Can String Theory Explain Warp Drive? - About - News & Issues
Also, as Peter Woit has pointed out, calling M-Theory new is a bit odd since it was originally proposed in 1995 (by string theory guru Edward Witten). Still, this is the sort of thing which captures the imagination of non-scientists, and helps to turn...
Civic's 'Anne' outgrows its plan - Evansville Courier & Press
Rehearsing a first-act schoolroom scene are, from left, Madeleine Gish as Diana Barry, Brenna Grassman as Jane Andrews, Helena Walker as Ruby Gillis, Sara Boling as Josie Pye, Brandon Witten as Charlie Sloane, Kate Grimm as Mary Jo, Olivia Schaperjohn...
CERN und das schwarze Loch - ORF.at
Die M-Theorie ist ein Gedankengebäude, geschaffen von Physik- und Mathematikgenie Edward Witten. Witten vereinte mehrere widersprüchliche String-Theorien, die viele Jahre für Diskussionen und Kopfzerbrechen bei Physikern weltweit gesorgt hatten....
JDS teams head into playoff season - Washington Jewish Week
Pitcher Becky Geller has had a strong season, along with Ariel Lanes (3B), Molley Witten (OF), Laynee Lichtenstein (SS) and Danielle Masica (C/P) for coach Jay Matula. Stay tuned in the coming weeks for more information on teams in other sports like...
Ciencia fuera de serie - Crítica Digital
... cargada de referencias científicas ocultas o deslizadas rápidamente, alusiones físicas (y mención de científicos actualmente vivos como Edward Witten, especialista en teoría de supercuerdas), chistes matemáticos (problemas de clase P y de clase NP)...

Edward Witten

Edward Witten at Harvard.jpg

Edward Witten (26 agosto 1951) è un matematico e fisico statunitense. Vincitore della Medaglia Fields nel 1990, professore all'Institute for Advanced Study, è il fondatore della M-teoria. Ha dato contributi essenziali alla teoria delle stringhe e alla teoria quantistica dei campi.

Witten è nato a Baltimora, nel Maryland, in una famiglia di origini ebraiche, figlio di Lorraine W. Witten e di Louis Witten, un fisico specializzato in gravitazione e relatività generale. Inizialmente la sua carriera sembra più indirizzata verso materie di tipo umanistico: infatti ottiene un diploma in storia alla Brandeis University. La sua intenzione iniziale era quella di diventare un giornalista politico, perciò pubblicò articoli sul New Republic e sul Nation. Ha anche lavorato brevemente per la campagna presidenziale di George McGovern, ritornando poi però all'università, dove nel 1976 conseguì il dottorato in fisica alla Princeton University: proprio qui, dopo un periodo trascorso alla Harvard University, cominciò ad esercitare come professore. Dopo due anni (1999-2001) spesi al California Institute of Technology, è attualmente professore di fisica matematica all'Institute for Advanced Study. È sposato con Chiara Nappi, professoressa di fisica alla Princeton University.

L'attività di Witten unisce alla fisica pura una straordinaria conoscenza della matematica moderna. È stato inizialmente attivo nella teoria quantistica dei campi e in teoria delle stringhe, oltre che nelle relative aree matematiche di topologia e geometria. Tra i suoi numerosi contributi vi sono la prova del teorema dell'energia positiva della relatività generale, il suo lavoro sulla supersimmetria e la teoria di Morse, l'introduzione ad una teoria quantistica dei campi topologici e le pubblicazioni relative alla simmetria speculare e le teorie di gauge supersimmetriche, nonché la congettura riguardo l'esistenza della M-teoria.

Witten è profondamente ammirato: Sir Michael Atiyah, per esempio, ha detto di lui: "Sebbene egli sia di fatto un fisico, la sua padronanza della matematica è posseduta da pochi matematici... Più di una volta ha sorpreso la comunità matematica con la sue brillanti applicazioni dei principi fisici portando a nuovi e profondi teoremi matematici... ha ottenuto un profondo impatto sulla matematica contemporanea. Nelle sue mani la fisica è tornata ancora ad essere una fonte di ispirazione e comprensione per la matematica".

La sua prolifica produzione è stata fin da subito premiata da numerosi riconoscimenti, tra cui una borsa di studio della MacArthur, una medaglia Fields, e la National Medal of Science (2004). Papa Benedetto XVI ha nominato Witten membro dell'Accademia Pontificia delle Scienze (2006). È anche comparso sulla rivista TIME nominato nella lista delle cento persone più influenti del 2004. È stato citato in un episodio del 1999 della serie a cartoni animati Futurama. Witten ha il più alto h-index di qualunque altro fisico vivente.

Per la parte superiore



Institute for Advanced Study

Fuld Hall

L'Institute for Advanced Study è un centro di ricerca teorica e si trova a Princeton, New Jersey, U.S.A.. L'istituto è forse meglio conosciuto come la sede accademica di Albert Einstein, John von Neumann e Erwin Panofsky, dopo la loro emigrazione negli Stati Uniti. Alcuni degli scienziati più noti per il lavoro all'Institute sono Kurt Gödel, J. Robert Oppenheimer, Erwin Panofsky, Homer A. Thompson, John von Neumann, George Kennan and Hermann Weyl. Ci solo altri Istituti di Studi avanzati negli USA ed altrove nel mondo che sono basati sul modello di Princeton.

L'Institute non ha legami formali con la vicina Princeton University o altri istituti di formazione. Tuttavia, fin dalla sua fondazione, ha stretto forti legami collaborativi con Princeton. È stato fondato nel 1930 dai filantropi Louis Bamberger e Caroline Bamberger Fuld; il primo direttore è stato Abraham Flexner.

L'Istituto si compone di quattro scuole : Studi Storici, Matematica, Scienze Naturali e Scienze Sociali, e inoltre un più recente programma in Biologia dei sistemi. La scuola è composta da una facoltà permanente di 27 membri, e ogni anno vengono assegnate 190 borse di studio a Visiting Members, provenienti da oltre 100 università e istituti di ricerca. L'attuale Preside è il Dottor Peter Goddard.

All'Institute non ci sono corsi di laurea o attrezzature sperimentali, la ricerca è finanziata da donazioni e sovvenzioni — non si mantiene con tasse d'iscrizione o rette. La ricerca non è mai a contratto o supervisionata; è affidato individualmente a ogni ricercatore di raggiungere i suoi personali obiettivi.

L'Institute è stato fondato nel 1930 da Louis Bamberger e Caroline Bamberger Fuld con i proventi del loro grande magazzino a Newark, New Jersey. I figli Bamberger tolsero i loro soldi dal mercato azionario poco prima del crollo del 1929, e il loro intento originale era di esprimere la loro gratitudine allo stato del New Jersey attraverso il finanziamento di un istituto medico. Fu poi l'intervento del loro amico Abraham Flexner, il notabile teorico dell'educazione, che li convinse ad investire il loro denaro al servizio di una ricerca più astratta.

Varie biografie di Albert Einstein hanno affermato che l'Institute fu fondato espressamente per ospitare gli emigrati ebrei (compresi Einstein e Von Neumann) che l'università di Princeton rifiutò di assumere a causa del suo istituzionale antisemitismo. Tuttavia l'università di Princeton aveva alcuni ebrei nella propria facoltà, incluso Solomon Lefschetz in matematica, e la facoltà di matematica all'Institute aveva quattro membri non ebrei: Oswald Veblen, James Alexander, Marston Morse, e Hermann Weyl ( sebbene Weil fosse sposato con una donna ebrea). Il ruolo dell'anti-Semitismo nella fondazione dell'Institute è perciò poco chiara.

L'Institute ha ospitato alcuni dei più rinomati pensatori del mondo, inclusi Albert Einstein, Kurt Gödel, Claude Shannon, T. D. Lee and C. N. Yang, J. Robert Oppenheimer, John von Neumann, Enrico Bombieri, Freeman J. Dyson, André Weil, Hermann Weyl, Harish-Chandra, Joan W. Scott, Frank Wilczek, Edward Witten Albert O. Hirschman , e George F. Kennan per nominare giusto alcuni dei più noti.

Ci sono numerosi centri accademici nominati come luoghi di "Advanced Study" in tutto il mondo, ma Princeton con sede nel New Jersey è l'istituzione originale su cui tutte le altre sono basate. Il SIAS ( acronimo di "Some Institutes for Advanced Study") è un consorzio di questo tipo.

Per la parte superiore



Michael Atiyah

Sir Michael Francis Atiyah

Sir Michael Francis Atiyah, (Londra, 22 aprile 1929) è un matematico britannico, noto per i suoi numerosi contributi alla geometria contemporanea. È cresciuto in Sudan e in Egitto, ma ha trascorso gran parte della sua carriera accademica a Oxford, Cambridge e Princeton.

Di madre scozzese e padre libanese, benché nato a Londra, Atiyah passò i primi anni della sua vita soprattutto a il Cairo e nel Sudan. Intraprese gli studi i suoi studi presso la Manchester Grammar School e il Trinity College di Cambridge. Fu studente di Hodge a Cambridge, dove rimase anche per la tesi di dottorato, che concluse nel 1955. Passò quindi un anno all'Institute for Advanced Study di Princeton. Nel 1961 si spostò da Cambridge a Oxford presso il St Catherine's College. Nel 1969 tornò a Princeton per tre anni, per tornare poi ancora a Oxford. Nel 1990 si spostò definitivamente verso Cambridge, ove divenne direttore dell'Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences al momento della sua fondazione. Ha collaborato con Raoul Bott, Friedrich Hirzebruch e Isadore Singer, tutti incontrati a Princeton nel 1955. Con Hirzebruch ha fondato la K-teoria topologica, un importante strumento della topologia algebrica, che descrive le modalità in cui lo spazio altamente dimensionale può essere alterato. Il suo risultato più noto è il teorema dell’indice di Atiyah–Singer, dimostrato con Singer nel 1963, un risultato fondamentale e ampiamente utilizzato che può essere usato per contare il numero di soluzioni indipendenti di molte equazioni differenziali importanti. Più recentemente ha lavorato su argomenti ispirati dalla fisica teorica, quali gli istantoni e i monopoli, responsabili di alcune sottili correzioni alla teoria quantistica dei campi.

Per le sue ricerche ha ricevuto numerosi riconoscimenti tra i quali la Medaglia Fields nel 1966, la Medaglia Copley nel 1988 e il Premio Abel nel 2004. Ha inoltre ricevuto numerose onoreficenze tra le quali l’Ordine al Merito. Figlio dello scrittore libanese Edward Atiyah e di Scot Jean Levens, Michael Atiyah è nato ad Hampstead, Londra. Ha due fratelli, Patrick professore di legge, Joe e una sorella, Selma. Tra il 1934 e il 1941 ha frequentato la scuola elementare presso la scuola diocesana a Khartoum, nel Sudan. Tra il 1941 e il 1945 ha frequentato le scuole superiori al Victoria College del Cairo, una scuola frequentata anche dalla nobiltà europea rifugiatasi nel Paese in seguito alla seconda guerra mondiale e da molti dei futuri leader delle nazioni arabe.

È tornato in Inghilterra per concludere gli studi superiori alla Manchester Grammar School (1945−1947), dove ha anche svolto il servizio nazionale presso i Royal Electrical and Mechanical Engineers (1947−1949). Si è laureato al Trinity College di Cambridge nel 1955 ed ha vinto un posto per il dottorato di ricerca con William V. D. Hodge per una tesi dal titolo: “Alcune applicazioni dei metodi topologici nella geometria algebrica”.

Il 30 luglio 1955 Michael Atiyah ha sposato Lily Brown, con la quale ha avuto tre figli. Ha trascorso l’anno acacdemico 1955−1956 presso l’Institute for Advanced Study di Princeton, per poi tornare all’Università di Cambridge, dove è stato ricercatore e assitente (1957−1958), poi professore e tutor al Pembroke College (1958−1961). Nel 1961 si è trasferito all’Università di Oxford, dove è stato lettore e tutor al St Catherine's College (1961−1963). Dal 1963 al 1969 è stato professore di geometria e borsista al New College di Oxford. In seguito ha accettato un incarico triennale presso l’Institute for Advanced Study di Princeton, dopo il quale è tornato ad Oxford come Professore della Royal Society Research e borsista al St Catherine's College. È stato presidente della Società matmatica di Londra dal 1974 al 1976.

Atiyah è stato molto attivo sulla scena internazionale, ad esempio come presidente delle Conferenze Pugwash sulla Scienza e gli Affari mondiali dal 1997 al 2002. Ha inoltre contribuito alla fondazione del Comitato interaccademico sulle questioni internazionali, dell’Associazione delle Accademie europee (ALLEA) e della Società matematica europea (EMS).

Nel Regno Unito, è stato coinvolto nella creazione dell’Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences a Cambridge, del quale è stato il primo direttore (1990−1996). È stato presidente della Royal Society (1990−1995), Master del Trinity College a Cambridge (1990−1997) e Cancelliere dell’Università di Leicester (1995−2005). Al momento è in pensione ma mantiene l’incarico di professore onorario all’Università di Edimburgo. Nel 2005 è diventato presidente della Royal Society di Edimburgo.

Atiyah fu uno dei fondatori, assieme a Hirzebruch, della K-teoria topologica, una branca della topologia algebrica. Collaborò con molti altri matematici, tra cui Raoul Bott e Isadore Singer; con quest'ultimo formulò il Teorema dell'indice di Atiyah-Singer. Questo lo portò quindi a studiare la teoria delle rappresentazioni e l'equazione del calore sulle varietà.

Successivamente si interessò della teoria di gauge, soprattutto alla teoria di Yang-Mills, aprendo le porte al lavoro di molti altri fisici e matematici, come Witten.

Tra i molti studenti di Atiyah ci sono molti matematici illustri, come Simon Donaldson e Nigel Hitchin.

Atiyah ricevette la medaglia Fields nel 1966, la medaglia Copley nel 1988, il Premio Abel nel 2004. Fu decorato dell'Order of Merit nel 1992. Negli anni 90 fu presidente della Royal Society e direttore del Trinity College. Nel 1981 ricevette anche il Premio Feltrinelli dell'Accademia Nazionale dei Lincei.

Atiyah ha collaborato con molti altri matematici. Le sue tre principali collaborazioni sono state quelle con Raoul Bott sul teorema del punto fisso di Atiyah-Bott; quella Isadore M. Singer sul teorema dell’indice di Atiyah–Singer; e con Friedrich Hirzebruch sulla K-teoria topologica.

Tra le sue altre collaborazioni quella con John F. Adams (sul problema delle invarianti di Hopf), Jurgen Berndt (piani proiettivi), Roger Bielawski (problema di Berry–Robbins), Howard Donnelly (funzioni L), Vladimir G. Drinfeld (istantoni), Jochan L. Dupont (singolarità dei campi vettoriali), Lars Garding (equazioni differenziali iperboliche), Nigel J. Hitchin (monopoli), William V. D. Hodge (integrali del secondo tipo), Michael Hopkins (teoria K), Lisa Jeffrey (lagrangiane di tipo topologico), John D. S. Jones (teoria di Yang–Mills), Juan Maldacena (teoria M), Yuri I. Manin (istantoni), Nick S. Manton (Skyrmioni), Vijay K. Patodi (asimmetria dello spettro), A. N. Pressle (convessità), Elmer Rees (fasci di vettori), Wilfried Schmid (rappresentazioni delle serie discrete), Graeme Segal (teoria K equivariante), Alexander Shapiro (algebra di Clifford), L. Smith (gruppi di sfere in omotopia), Paul Sutcliffe (poliedri), D. O. Tall (anelli lambda), John A. Todd (varietà di Stiefel), Cumrun Vafa (teoria M), Richard S. Ward (istantoni) e Edward Witten (teoria M, teorie topologiche dei campi quantistici).

Le sue ricerche successive sulle teorie del campo di gauge, in particolare sulla teoria di Yang–Mills, hanno stimolato importanti interazioni tra geometria e fisica, soprattutto grazie al lavoro con Edward Witten.

Tra gli studenti di Michael Atiyah ricordiamo Peter Braam (1987), Simon Donaldson (1983), David Elworthy (1967), Howard Fegan (1977), Eric Grunwald (1977), Nigel Hitchin (1972), Lisa Jeffrey (1991), Frances Kirwan (1984), Peter Kronheimer (1986), Ruth Lawrence (1989), George Lusztig (1971), Jack Morava (1968), Michael Murray (1983), Peter Newstead (1966), Ian Porteous (1961), John Roe (1985), Brian Sanderson (1963), Rolph Schwarzenberger (1960), Graeme Segal (1967), David Tall (1966) e Graham White (1982).

Tra i matematici contemporanei che hanno influenzato il lavoro di Atiyah si ricordano Roger Penrose, Lars Hörmander, Alain Connes e Jean-Michel Bismut. Atiyah ha dichiarato che il matematico da lui più ammirato è Hermann Weyl, e che i suoi matematici preferiti prima del XX secolo sono Bernhard Riemann e William Rowan Hamilton.

Per la parte superiore



Simon Donaldson

Simon Kirwan Donaldson (Cambridge, 20 agosto 1957) è un matematico britannico. A soli 29 anni, ha vinto nel 1986 una Medaglia Fields per i suoi contributi nella topologia della dimensione bassa, in particolare nello studio delle varietà differenziabili di dimensione 4.

Laureato in matematica al Pembroke College (Cambridge) nel 1979, inizia il PhD al Worcester College (Oxford), lavorando con Nigel Hitchin e Michael Atiyah. Prima di finire il dottorato Donaldson scopre un risultato così importante da "sbalordire il mondo matematico" (secondo le parole di Atiyah). Nell'articolo Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds, pubblicato nel 1983, egli svela l'enorme ricchezza della topologia delle varietà differenziabili di dimensione 4.

Negli anni 1983-84 si sposta all'Institute for Advanced Study di Princeton. Torna quindi a Oxford nel 1985. Nel 1986 vince la medaglia Fields. Nel 1999 si sposta all'Imperial College London.

Assieme a Freedman e Thurston, Donaldson è uno dei maggiori artefici del radicale cambiamento avvenuto all'inizio degli anni 80 nella topologia della dimensione bassa. Thurston scopre che le 3-varietà sono studiate in modo agevole tramite gli strumenti della geometria iperbolica. Freedman classifica le 4-varietà da un punto di vista topologico, dimostrando in particolare la congettura di Poincaré (versione topologica) in dimensione 4. Donaldson si interessa invece alle 4-varietà differenziabili e ottiene risultati che vanno in direzione opposta a quelli scoperti da Freedman: tramite strutture matematiche raffinate, egli riesce a distinguere molte 4-varietà differenziabili aventi lo stesso aspetto topologico, svelando in dimensione 4 l'enorme differenza fra le nozioni di varietà topologica e varietà differenziabile.

Gli strumenti matematici derivanti dalla topologia algebrica e differenziale generalmente non distinguono due varietà differenziabili aventi la stessa struttura topologica. Gli strumenti matematici introdotti da Donaldson per distinguere 4-varietà differenziabili (strumenti di questo tipo sono usualmente chiamati invarianti) sono mutuati dalla fisica teorica più recente: l'ingrediente principale consiste negli istantoni, soluzioni di particolari teorie di gauge originate dalla teoria quantistica dei campi. Seguendo la stessa filosofia, alcuni anni dopo il fisico Edward Witten costruirà dei nuovi invarianti, noti come invarianti di Seiberg-Witten, che risulteranno meno complicati e più facili da usare rispetto a quelli introdotti da Donaldson.

Per la parte superiore



K-teoria ritorta

La K-teoria è una struttura matematica che gioca un ruolo centrale nella topologia algebrica, nell'algebra e nella teoria degli operatori. La K-teoria ritorta è una versione di quest'ultima.

La K-teoria dello spazio M è l'anello che classifica le topologie delle fibrazioni sullo spazio M. Introdotta 50 anni fa da Alexander Grothendieck sono state scoperte, nel frattempo, parecchie applicazioni in fisica, soprattutto per il calcolo delle anomalie nella teoria quantistica dei campi quantistici, e negli ultimi anni, per la classificazione delle D-brane nella teoria delle stringhe. Quest'ultima applicazione è stata congetturata nel 1997 da Ruben Minasian e Gregory Moore nel loro articolo K-theory and Ramond-Ramond Charge. In seguito, tanti ricercatori hanno provato a generalizzare, applicando i loro risultati al caso, in presenza dei flussi di Neveu-Schwarz, tuttavia senza alcun successo, finché un gruppo di matematici dell' Università di Adelaide si accorse che, per generalizzare la K-teoria, occorreva la K-teoria ritorta.

Esistono parecchie generalizzazioni della K-teoria. Ad esempio, si può ritorcerla con una p-classe di coomologia. Tuttavia, solo nel caso della K-teoria ritorta con la terza classe di coomologia esiste un'interpretazione geometrica. Fortunatamente questo è proprio il caso "rilevante" per la teoria delle stringhe.

Nel 1989 Jonathan Rosenberg ha introdotto la K-teoria ritorta nell'articolo Continuous-Trace Algebras from the Bundle Theoretic Point of View. Prima di spiegarla, egli rinviò ad una formulazione della K-teoria dello spazio M proposta da Sir Michael Atiyah. Consideriamo uno spazio di Hilbert ed anche lo spazio Fred(), che consiste in tutti gli operatori Fredholm sul . Ebbene Atiyah dimostrava che la K-theoria di M sia uguale allo spazio delle funzioni da M a Fred(), dove identificheremo le funzioni omotopiche. Vi ricordo che c'è un altro modo per descrivere una funzione da M a Fred(). Potremmo costruire la fibrazione triviale di Fred() su M, cioè il prodotto di M e Fred(), e poi una sezione di questa fibrazione triviale, e precisemente una funzione da M a Fred(). Dunque Atiyah ha dimostrato che la K-teoria di M corresponde alle sezioni della fibrazione triviale di Fred() su M.

Rosenberg ha generalizzato questa formulazione di Atiyah per includere la 3-classe H che gioca un ruolo chiave nella teoria delle stringhe. Egli ha rimpiazzato la fibrazione triviale nelle definizione di Atiyah con una fibrazione non-triviale, quella associata ad una fibrazione di PU(), gli operatori progettivi unitari sullo spazio di Hilbert . Queste fibrazioni sono classificate precisamente dalla 3-classe, dunque ogni H corresponde ad una fibrazione e dunque ad una K-teoria ritorta. Dopo di chè egli ha definito una K-teoria ritorta per ogni 3-classi H. La rilevanza della teoria delle stringhe era comunque rimasta un mistero per una decina di anni dopo l'articolo di Rosenberg.

La teoria delle stringhe è divisa in tante sottodiscipline, con pochi spunti di dialogo accademico. Comunque esiste una cosa che lega insieme quasi tutti quanti, ovvero, lo studio delle D-brane: superfici dove terminano le stringhe aperte. Quindi un problema importante nella teoria delle stringhe è di classificare le D-brane; in pratica si cerca di capire quali configurazioni delle D-brane siano consistenti, e quali siano stabili. Di seguito considero questo problema nella teoria nota come teoria delle superstringhe di tipo II.

Negli anni '90 si pensava che le D-brane fossero classificate dalla coomologia integrale. Intuitivamente, una D-brana può avvolgere qualunque ciclo e sarà stabile se non ci fosse stata una deformazione (cobordismo) dal ciclo fino a nulla. Ma questa classificazione si dimostrava troppo semplicistica. Ad esempio, nel 1999 abbiamo scoperto, dall' effetto dielettrico di Myers, che una brana può aumentare la sua dimensione. Dunque, al minimo, la classe delle deformazioni da considerare doveva essere aumentata. Nel frattempo Minasian e Moore hanno proposto un'alternativa, ovvero che, nei casi speciali le D-brane siano classificate dalla K-teoria. Nel 2000 Peter Bouwknegt and Mathai Varghese hanno esteso questa congettura al caso generale esponendo poi nel loro articolo D-branes, B-fields and twisted K-theory come le D-brane siano classificabili non dalla K-teoria ordinaria ma, al contrario, dalla K-teoria ritorta di Rosenberg.

Per capire perché oggi la maggior parte degli stringhisti si fidano di questa congettura, bisogna ritornare al 1999. In Anomalies in String Theory with D-branes, Daniel Freed e Edward Witten hanno dimostrato che, contrariamente alla classificazione della coomologia, esistono vari cicli che una sola D-brana non può mai avvolgere. Oggi si dice che tali D-brane "vietate" soffrono di un'anomalia di Freed-Witten. Dunque le configurazioni delle brane consistenti non corrispondono a tutta la coomologia, ma solo al sottoinsieme delle brane che non siano anomale.

Juan Maldacena, Gregory Moore e Nathan Seiberg, nel loro articolo D-Brane Instantons and K-Theory Charges, hanno esteso quest'argomento per dimostrare che anche qualche brane consistente, grazie all'anomalia di Freed-Witten, decadono per i processi di Myers. Quindi la classificazione finale dovrebbe essere il quoziente del sottoinsieme delle D-brane che non soffrono dell' anomalia per il sottoinsieme delle D-brane che siano instabili. Usando un trucco matematico detto "sequenza spettrale di Atiyah-Hirzebruch", essi hanno dimostrato che il(questo) quoziente di un sottoinsieme sia precisamente la K-teoria ritorta, come hanno congetturato Bouwknegt e Mathai.

Per la parte superiore



Topologia della dimensione bassa

Un nodo è un sottoinsieme dello spazio omeomorfo alla circonferenza.

La topologia della dimensione bassa è una branca della topologia (e quindi della geometria) che studia gli "spazi di dimensione 1, 2, 3 e 4".

La topologia della dimensione bassa studia soprattutto le varietà, da molteplici punti di vista. A partire dagli anni 60, è emersa sempre più la peculiarità di queste dimensioni, il cui studio necessita di strumenti ad hoc, più specifici delle tecniche generali fornite dalla topologia algebrica e della topologia differenziale. Da cui la nascita negli anni 60/70 di un settore apposito, che studiasse tecniche adeguate, soprattutto alle dimensioni 3 e 4.

Un esempio lampante di questo fenomeno è la dimostrazione di Stephen Smale della Congettura di Poincaré: gli argomenti usati dal matematico statunitense funzionano per tutte le dimensioni superiori a 4, ma non per le altre. La stessa congettura è stata successivamente dimostrata con tecniche complesse e molto specifiche in dimensione 4 da Michael Freedman nel 1982 e in dimensione 3 da Grigori Perelman nel 2003 (i casi 1 e 2 sono molto facili, come notò Henri Poincaré già alla fine del XIX secolo).

I risultati sorpendenti ottenuti da William Thurston, Simon Donaldson, Michael Freedman, Vaughan Jones e Edward Witten nell'ambito delle varietà di dimensione 3 e 4, ottenuti tra la fine degli anni 70, e tutti gli anni 80, hanno valso a tutti questi una medaglia Fields, e hanno portato il settore alla ribalta della geometria e di tutta la matematica. Grisha Perelman, anch'egli vincitore di una medaglia Fields, chiude infine nel 2003 la congettura di Poincaré, insoluta per più di un secolo.

Esistono solo due varietà di dimensione 1 a meno di omeomorfismo: la retta e la circonferenza. Una circonferenza dentro lo spazio tridimensionale può però essere annodata, ed è possibile dare un significato matematico ben preciso a questo concetto: la branca della topologia che si occupa di questo è la teoria dei nodi.

Una varietà di dimensione 2 è una superficie. Le superfici compatte e orientabili sono classificate dal loro genere, intuitivamente pari al "numeri di buchi". Più in generale, esiste una classificazione delle superfici per ogni superficie di tipo finito. Dal punto di vista topologico tali superfici sono quindi completamente classificate. Queste diventano però un importante oggetto di studio se arricchite di un'ulteriore struttura.

Le superfici di Riemann sono superfici dotate di una struttura di varietà complessa di dimensione uno: questi oggetti sono stati già abbondantemente studiati nel XIX secolo, ben prima della definizione di spazio topologico, in quanto luogo di zeri di funzioni polinomiali a coefficienti complessi. Avendo dimensione complessa 1, questi oggetti sono esempi di curve algebriche. Il loro studio usa le tecniche dell'analisi complessa e della geometria algebrica.

Per il teorema di uniformizzazione di Riemann, una superficie può anche essere dotata di una metrica con curvatura gaussiana costante: tale curvatura è necessariamente positiva sulla sfera, nulla sul toro e negativa per tutte le superfici di genere maggiore. Grazie alla metrica, sono quindi definite geodetiche, distanza fra punti, angoli, aree. La geometria della superficie è quindi ellittica sulla sfera, piatta (cioè simile a quella euclidea) sul toro, iperbolica in tutti gli altri casi. Come in altri contesti, la geometria iperbolica è più ricca e quindi oggetto di uno studio più approfondito.

Una 3-varietà è intuitivamente un "universo possibile". A differenza di quanto avviene nelle dimensioni 1 e 2, non esiste ancora nessuna classificazione soddisfacente delle varietà di dimensione 3. Le varietà tridimensionali vengono costruite con varie tecniche, ad esempio tramite triangolazioni.

Il quadro generale è fornito dalla congettura di geometrizzazione, enunciata da William Thurston alla fine degli anni 70, e dimostrata da Grigori Perelman nel 2003. Questa congettura contiene la congettura di Poincaré come caso particolare. Secondo questa congettura, ogni 3-varietà si decompone in "pezzi geometrici", separati da alcune "pareti": ciascuna parete è una sfera o un toro (entrambi oggetti bidimensionali). Ciascuno di questi "pezzi geometrici" ha una metrica, che non è a curvatura costante ma quasi: è una delle 8 possibili metriche derivate da spazi omogenei tridimensionali. Come per le superfici, la metrica più interessante, che è di gran lunga quella maggiormente oggetto di studio, è quella iperbolica.

Una varietà di dimensione 4 è un oggetto difficile da visualizzare. Esistono moltissime varietà di dimensione 4: ad esempio, tali varietà possono avere come gruppo fondamentale qualsiasi gruppo. Per questo motivo, una classificazione completa di tali varietà è impossibile.

La dimensione 4 presenta una quantità straordinaria di fatti peculiari, che la rendono oggetto di tanto interesse nella comunità dei matematici. Innanzitutto, è la prima dimensione in cui le nozioni di omeomorfismo e diffeomorfismo divergono radicalmente: esistono 4-varietà omeomorfe ma non diffeomorfe, e 4-varietà topologiche che non hanno nessuna struttura di varietà differenziabile. Persino la più semplice delle 4-varietà, lo spazio euclideo , ammette un'infinità non numerabile di strutture differenziali differenti (fatto che non si presenta in nessun'altra dimensione).

Lo studio delle 4-varietà topologiche è quindi molto diverso da quello delle 4-varietà differenziabili. Ad esempio, le varietà compatte e semplicemente connesse topologiche sono classificate grazie ai lavori di Michael Freedmann, mentre le differenziabili formano un insieme molto più ricco, il cui studio è estremamente difficile e ancora incompleto, richiedente l'uso di strumenti potenti, quali gli invarianti di Seiberg-Witten.

Per la parte superiore



Source : Wikipedia